Türeve Dair Hatırlatmalar

İntegral konusuna başlamadan önce türev konusundaki eksiklerinizi gidermeniz önemlidir. Türevi anlayabilmek için de limit ve süreklilik konularını iyi kavramış olmanız gerekir. Dolayısıyla bu konulardan herhangi birinde bir eksiğiniz varsa önce o eksiklerinizi kapatmanız ve ardından integral çalışmaya başlamanız isabetli olacaktır. Bu sayfada sadece türevle ilgili tanım ve kurallar hatırlatılacaktır.

Türevin Tanımı

$f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ bir fonksiyon ve $c \in (a,b)$ olsun. $\lim_{x \rightarrow c} \dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}$ limitine (varsa) f fonksiyonunun c noktasındaki türevi denir ve $f'(c)$ ile veya $\dfrac{dy}{dx}$ şeklinde gösterilir.

f fonksiyonunun bir c noktasında türevi varsa bu türev bir tektir.

$f’$ türev fonksiyonunun tanım kümesi f fonksiyonunun tanım kümesinin alt kümesidir.

Bir noktadaki türev o noktadaki teğetin eğimine eşittir.

Teğete değme noktasında dik olan doğruya normal denir.

Bir f fonksiyonu c noktasında türevli ise süreklidir. Bu ifadeden iki sonuç çıkar:

1- f fonksiyonu c noktasında sürekli değilse türevli de değildir.

2- f fonksiyonu c noktasında sürekli olduğu halde türevli olmayabilir.

$y=||g(x)||$ tam değer fonksiyonunun x=c noktasında türevi varsa bu 0’dır.

$y=sgn f(x)||$ işaret fonksiyonunun x=c noktasında türevi varsa bu 0’dır.

f(x)=k ($k \in \mathbb{R}$ olmak üzere) bir sabit fonksiyonsa türevi 0’dır.

$f(x)=x^{n}$ fonksiyonunun türevi $f(x)=n.x^{n-1}$ şeklindedir.

Toplamın türevi, terimlerin türevleri toplamına eşittir. Yani $[f(x)+g(x)]’=f'(x)+g'(x)$ şeklindedir.

Çarpımın türevi ise $[f(x).g(x)]’=f'(x).g(x)+f(x).g'(x)$ şeklindedir.

Bölümün türevi ise $[\dfrac{f(x)}{g(x)}]’=\dfrac{f'(x).g(x)-g'(x).f(x)}{g^{2}(x)}$ şeklindedir.

Karekök fonksiyonunun türevi $f(x)=\sqrt{x} \Rightarrow f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ şeklindedir.

Karekök fonksiyonu içinde verilen fonksiyonun türevi $f(x)=\sqrt{u(x)} \Rightarrow f'(x)=\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$ şeklindedir.

Bileşik fonksiyonun türevi ve zincir kuralını hatırlayalım: y=f(u) ve u=g(x) olmak üzere bileşke fonksiyonu y=f[g(x)]=(fog)(x) şeklindedir. Bu fonksiyonun türevi zincir kuralı dediğimiz şu kuralla bulunur: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}.\dfrac{du}{dx}$

Bu gösterimi sözle ifade edersek; bileşke fonksiyonun türevi y’nin u’ya, u’nun x’e göre türevidir. Kısaca bileşke fonksiyonun türevi $[(fog)(x)]’=f'[g(x)].g'(x)$ şeklindedir.

Bileşke fonksiyonunun türevini bulma hususunda şu örneği yapalım:

Örnek: $y=u^{3}+5u^{2}-1$ ve $u=\sqrt{x^{2}-x+1}$ ise $\dfrac{dy}{dx}$’i bulalım.

ÇÖZÜM: Önce y’nin u’ya göre türevini yani $\dfrac{dy}{du}$ ifadesini bulalım:

$y=u^{3}+5u^{2}-1 \Rightarrow \dfrac{dy}{du}=3u^{2}+10u$

Şimdi de u’nun x’e göre türevini yani $\dfrac{du}{dx}$ ifadesini bulalım:

$u=\sqrt{x^{2}-x+1} \Rightarrow \dfrac{du}{dx}=\dfrac{2x-1}{2\sqrt{x^{2}-x+1}}$

Zincir kuralına göre $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}.\dfrac{du}{dx}$ olduğundan

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}.\dfrac{du}{dx}=(3u^{2}+10u).(\dfrac{2x-1}{2\sqrt{x^{2}-x+1}})$ bulunur.

Şimdi u’nun değerini yerine yazarsak

$\dfrac{dy}{dx}=3(\sqrt{x^{2}-x+1})^{2}+10(\sqrt{x^{2}-x+1}).(\dfrac{2x-1}{2\sqrt{x^{2}-x+1}})$

istenendir.

Periyodik fonksiyonun türevi de periyodiktir.

Tek fonksiyonun türevi çift, çift fonksiyonun türevi tektir.

Ters fonksiyonun türevi $(f^{-1}(y))’=\dfrac{1}{f'(d)}$ şeklindedir.

A ve B kümeleri reel sayılar kümesinin iki alt kümesi, $f:A \rightarrow B$ fonksiyonu bire bir ve örten olsun. f fonksiyonu $c \in A$ noktasında türevli ve $f'(x) \neq 0$ ise $f^{-1}:B \rightarrow A$ fonksiyonu da c’nin f altındaki görüntüsü olan d noktasında türevlidir.

Böylece ters fonksiyonun türevi yukarıdaki gibi bulunur.

Trigonometrik fonksiyonların türevleri

$f(x)=\sin x \Rightarrow f'(x)=\cos x$

$f(x)=\cos x \Rightarrow f'(x)=-\sin x$

$f(x)=\tan x \Rightarrow f'(x)=\sec^{2} x$ veya $f(x)=\tan x \rightarrow f'(x)=1+\tan^{2} x$ ($\sec x=\dfrac{1}{\cos x}$ olduğunu hatırlayınız).

$f(x)=\cot x \rightarrow f'(x)=-\csc^{2} x$ veya $f(x)=\cot x \rightarrow f'(x)=-(1+\cot^{2} x)$ ($\csc x=\dfrac{1}{\sin x}$ olduğunu hatırlayınız. csc, kosekant demek olup bazı kitaplarda cosec olarak da gösterilebilir).

$u=g(x)$ fonksiyonunun bir c noktasındaki türevi $u’$ olsun. Buna göre:

$f(x)=\sin u \Rightarrow f'(x)=u’.\cos u$

$f(x)=\cos u \Rightarrow f'(x)=-u.\sin u$

$f(x)=\tan u \Rightarrow f'(x)=u’.\sec^{2} u$ veya $f(x)=\tan u \rightarrow f'(x)=u’.(1+\tan^{2} u)$

$f(x)=\cot u \Rightarrow f'(x)=-u’.\csc^{2} u$ veya $f(x)=\cot u \rightarrow f'(x)=-u’.(1+\cot^{2} u)$

$f(x)=\arcsin x \Rightarrow f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}, x \in (-1,1)$

$f(x)=\arccos x \Rightarrow f'(x)=\dfrac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}, x \in (-1,1)$

$f(x)=\arctan x \Rightarrow f'(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}, x \in \mathbb{R}$

$f(x)=arccot x \Rightarrow f'(x)=\dfrac{-1}{1+x^{2}}, x \in \mathbb{R}$

$u=g(x)$ fonksiyonunun bir c noktasındaki türevi $u’$ olsun. Buna göre:

$f(x)=\arcsin u \Rightarrow f'(x)=\dfrac{u’}{\sqrt{1-u^{2}}}$

$f(x)=\arccos u \Rightarrow f'(x)=\dfrac{-u’}{\sqrt{1-u^{2}}}$

$f(x)=\arctan u \Rightarrow f'(x)=\dfrac{u’}{1+u^{2}}$

$f(x)=arccot x \Rightarrow f'(x)=\dfrac{-u’}{1+u^{2}}$

Logaritmik fonksiyonların türevleri

$y=log_{a}^{x}$ fonksiyonu her $x \in \mathbb{R^{+}}$ noktasında türevlidir ve türevi $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x.\ln a}$ şeklindedir.

$y=\ln x$ fonksiyonu her $x \in \mathbb{R^{+}}$ noktasında türevlidir ve türevi $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x}$ şeklindedir.

$u=g(x)$ fonksiyonunun bir c noktasındaki türevi $u’$ olsun.

Buna göre: $y=log_{a}^{u} \Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{u’}{u}.\dfrac{1}{\ln a}$ şeklindedir. $y=\ln u \Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{u’}{u}$ şeklindedir.

Üstel fonksiyonun türevi

$a > 0$ ve $a \neq 1$ olmak üzere $y=a^{x}$ biçiminde tanımlanan üstel fonksiyon her $x \in \mathbb{R}$ noktasında türevlidir ve türevi $\dfrac{dy}{dx}=a^{x}\ln a$ şeklindedir. Burada özel olarak $a=e$ alınırsa $y=e^{x} \Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=e^{x}$ olur.

$u=g(x)$ fonksiyonunun bir c noktasındaki türevi $u’$ olsun. Buna göre: $y=a^{u} \Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=a^{u}.\ln a.u’$ ve $y=e^{u} \Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=e^{u}.u’$ olur.

$y=[u(x)]^{v(x)}$ biçimindeki fonksiyonların türevleri alınırken önce her iki yanın logaritması, sonra her iki yanın x’e göre türevi alınır.

$y=[u(x)]^{v(x)} \Rightarrow \ln y=\ln [u(x)]^{v(x)} \Rightarrow \dfrac{y’}{y}=v'(x).\ln [u(x)]+ \dfrac{u’}{u}.v(x)$

Kapalı fonksiyonun türevi

$F(x,y)=0$ bağıntısından en az bir $y=f(x)$ fonksiyonu tanımlanabiliyorsa, bu bağıntıya y’nin x’e göre kapalı fonksiyonu denir. Çoğu kez bu bağıntıdan y, x türünden çözülemez. $y=f(x)$ fonksiyonunun türevini hesaplamak için birkaç yol vardır.

1. Mümkünse verilen bağıntıdan y çekilir, türev alınır.

2. $F(x,y)=0$ bağıntısında her terimin x’e göre türevi alınır. Burada y’nin x’e bağlı olduğu unutulmamalıdır.

3. y sabit tutularak ve x’e göre türev alınarak $F’_{x}$, x sabit tutularak ve y’ye göre türev alınarak $F’_{y}$ bulunur. Böylece kapalı fonksiyonun türevi $-\dfrac{F’_{x}}{F’_{y}}$ olarak bulunur.

Parametrik olarak tanımlanan fonksiyonun türevi

$y=f(x)$ fonkisyonu, $y=g(t)$ ve $x=h(t)$ biçiminde t parametresine bağlı olarak verilmişse türevi

$y’=\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\dfrac{g'(t)}{h'(t)}$

olarak bulunur.

Yorumlar